隆建军
(攀枝花市大河中学,四川 攀枝花617061)
摘要:讨论了在广义极大单调意义下的一类变分包含,并且使用预解算子技巧研究这类变分包含解的迭代逼近.改进和推广了近期文献中的相关结果.
关键词:变分包含;单调映象;预解算子;迭代算法;收敛性
中图分类号:O177.91
1 引言及预备知识
变分不等式理论已经成为研究线性与非线性问题的有力工具,并在许多领域得到了广泛应用,如数学规划、优化与控制理论、运筹学、对策论、工程技术、经济平衡理论及社会经济模型等,近年来,各类变分不等式和变分包含的理论、算法及其应用的研究备受专家、学者关注.Noor给出了求解变分不等式的三步迭代算法,Ding给出了求解变分不等式的的预估-校正迭代算法.本文在Hilbert空间中引入一类涉及广义极大单调映象的集值变分包含问题,并利用预解算子技巧研究这类变分包含解的迭代逼近算法,证明了其解的存在性以及由算法生成的迭代序列的强收敛性.
设是实Hilbert空间,范数和内积为和,表示的所有非空子集所成的幂集,是中的所有非空有界闭子集的全体,是上的Hausdorff距离.设和是单值映射,和是集值映象,使得,是极大单调的且.
考虑如下变分包含问题:
找,使得,,,,,且. (1.1)
若,则问题(1.1)退化为:求使得
.
此问题正是文献[4]研究的问题.
定义1.1 设是单值映射,而是一个集值映象,称是
(1) 强单调当且仅当存在常数,使得.
(2) Lipschitz连续当且仅当存在常数,使得.
(3)相应于是强单调的,当且仅当存在常数,使得
.
收稿日期:2013-3-15
基金资助:本文得到四川理工学院杨厚学教授的四川省教育厅自然科学青年基金项目资助(2011ZA113)
作者简介:隆建军(1981.6-)男,四川安岳人,中学二级教师,学士,研究方向:高中数学教学与不等式理论
定义1.2 是单值映射,是一个集值映象.
(1)称是单调的,如果.
(2) 称是严格单调的,如果且等号成立.
(3) 称是强单调当且仅当存在常数,使得.
(4) 称是Lipschitz连续当且仅当存在常数,使得.
(5)称是单调的,如果.
(6) 称是极大单调的,如果是单调的且.其中是内的恒等映象,是实常数.
(7) 称为是Lipschitz连续当且仅当存在常数,使得
.
注1.1 当时,定义1.2中的(5),(6)即为传统意义下的单调、极大单调概念.
引理1.1 设严格单调且是极大单调的,则,逆映象是单值的.
利用引理1.1我们能够定义极大单调映象的预解算子如下:
其中是常数,且严格单调的.
引理1.2 设是强单调和Lipschitz连续的,是极大单调的,则的预解算子是Lipschitz连续的.
由引理1.1和引理1.2容易得到
引理1.3 是问题(1)的解满足下面关系:
(1.2)
其中,,,,,且是常数.
注1.2 由引理1.3知道变分包含问题(1)与下面不动点问题等价:存在,,,,,,使得
(1.3)
利用(1.3)式即Nadler的结果,我们能够构造针对变分包含问题(1.1)解的迭代算法:
算法1.1 对给定的,,,,,,由如下的迭代选择来构造序列,,,,,和:
(1.4)
2 主要定理及解的迭代
定理2.1 设是Lipschitz连续的;又假设相应是强单调和Lipschitz连续的,是强单调和Lipschitz连续的,关于第一变量是Lipschitz连续和相应是强单调的,而关于第二变量是Lipschitz连续,关于第一和第二变量分别是Lipschitz连续,Lipschitz连续的;并且我们假设是集值映射,使得对是极大单调的,且.若,
(2.1)
且存在常数,使得
(2.2)
其中,,.则,,,,,是问题(1.1)的解,且由(1.4)式所构造的迭代序列,,,,,和分别强收敛于,,,,,和.
证明:记,,,由(1.4)式有:
(2.3)
因为g相应于是强单调和Lipschitz连续的,利用Noor的技巧有
(2.4)
由引理1.2和条件(2.1),有
(2.5)
因为关于第一变量是Lipschitz连续和相应是强单调的,有
(2.6)
利用关于第二变量是Lipschitz连续及关于第一、二变量是Lipschitz连续,有
(2.7)
(2.8)
(2.9)
综合(2.3)~(2.9),得到
(2.10)
其中
,
.
令,其中,
.我们知道.而由(2.2)式可知,因而当充分大时,所以是一Cauchy列,即有.
下面我们证明,,,,,.事实上由算法1.1可知:
,,
,,.
即,,,,和均是Cauchy列,设,,,,,.而
因而.同理可得,,,,.再由关于各个变量的连续性和假设(2.1),我们有
(2.11)
由(1.4)和(2.11)式有,即有
.
由引理1.3知是问题(1.1)的解.证毕.
注2.1 定理2.1推广和改善了Huang,代等人的工作
参考文献:
[1] NOOR M A. New approximation schemes for general variational inequalities[J]. J Math Anal Appl, 2000, 251: 217-229.
[2] NOOR M A. HUANG Zhen-yu. Three-step methods for nonexpansive mappings and variational inequalities[J]. Appl Math Cornput, 2007, 187: 680-685.
[3] DINGXie-ping.Predictor-corrector iterative algorithms for solving nonlinear mixed variational-like inequalities[J].四川师范大学学报:自然科学版,2003,26(1):1-5.
[4] Xia F Q,Huang N J.Variational inclusions with a general H-monotone operator in Banach spaces[J].Comput Math Appl,2007,54:2-30.
[5]Huang N J,Fang Y P.A new class of general variational inclusions involving maximalη-monotone mappings[J].
Publ.Math.Debrecen,2003,62:83-98.
[6] Nadler S B Jr.Multi-valued contraction mappings[J].Pacific J.Math,1969,38:475-488.
[7] Noor M A.An iterative scheme for a class of quasivariational inequalities[J].J.Math.Anal.Appl,1985,
110:462-468.
[8] 代宏霞.极大η-单调映象的广义隐拟变分包含[J].四川大学学报:自然科学版,2006,43(1):11-15.
A Class of Set-valued Variational Inclusions in Hilbert Spaces
LONG Jian-jun
(Dahe Middle School of Panzhihua Sichuan panzhihua617061china)
Abstract:By using some properties of generalized maximal monotonicty mapping and the resolvent operator technique, in Hilbert space,the author studied a class of variational inclusions with generalized maximal monotonicty mapping and constructed an algorithm for approximating the solution of this class of variational inclusions with generalized maximal monotonicty mapping.
Key words: variational inclusions;monotone mapping; resolvent operator; algorithm;convergence