是基-meso紧空间,所以存在,使为开覆盖在中的紧有限加细,则是在中的紧有限加细。
下面是本文的主要结论及其证明:
定理 1 设是meso紧空间,,为相对的基-meso紧闭子集,则是基-meso紧的。
证明:(1)设,其中每个都是相对于的基-meso紧的闭子空间。
(2)对,的基,满足都是相对于的基-meso紧的。
(3)令,是的基,并且满足。
(4)是使得对每个,为相对的基-meso紧的基。
(5)设是的任意开覆盖,对中任意紧子集,取,使得,,。
(6)因是紧有限,不妨设紧子集,有。
(7)令,则是开覆盖且加细。
(8)对每个,由于相对于的基是基-meso紧的,则在,使得在中的紧有限的部分加细并且满足。
(9)令,下证是的紧有限且加细。
证明 事实上,有。否则存在一个,,又因为,所以,这与是紧有限的相矛盾。因此是的紧有限族。又,加细。
定理 2 是基-meso紧空间,若是的子集,且,则为基-meso紧空间。
证明 因为为集,设,为闭集,则由引理1知,为相对于的基-meso紧空间,由于,则为相对于的基-meso紧空间,由定理1,为基-meso紧空间。
定理 3 空间的基-meso紧空间当且仅当存在的一个开基,有,对于的每个开覆盖,都存在,使得是紧有限的开加细,并且满足。
证明
假设是基-meso紧空间的开覆盖,则存在一开基,有,使得是的紧有限的开加细。令,对每一个,满足。构造,则是紧有限的。否则,设中的任意紧子集,存在的开邻域与中的可数无限个相交。由存在无限多个与中的相交,这与是紧有限的集族相矛盾。所以是紧有限的,显然加细,并满足。
因为,是紧有限的开加细,所以是基-meso紧空间。
定理 4 设是基-meso紧映射,,如果是正规的基-meso紧空间,那么是基-meso紧空间。
证明 设为是满足基-meso紧的基,为的基,,对于满足基-meso紧性。令由知,下证是的满足基-meso紧的基。
设是的任意一个开覆盖,是对于满足基-meso紧性,对于任意的紧子集,,部分加细,使得,并且在中的集合处是紧有限的。
由是正规性,,使得,则
令,由是基-meso紧性的,有紧有限的开加细,记,,取紧子集,使得,令,则是的加细。
下面证明是紧有限的。
事实上,是紧有限的,对于中任意的紧子集
,存在有限集,使得,。设,如果,则,使得, ,从而;如果,则.因为在中集合处是紧有限的,所以紧子集含于的有限多个元中,即为紧有限的。
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Some Properties of Base- mesocompact Spaces
Geng Ni1,Zhang Weilin2,Wang Xian1,Zhou Xing1
(1.School of Management Science, Sichuan University of Technology, Chengdu 610059, China;2. College of science, Xian University of Technology, Xian 710048, China)
Abstract: In this paper, it is proved emphasizely that: (i) If X is mesocompact and the countable union of closed base-mesocompact sets relative to X ,then X is base-mesocompact; (ii) Let X be base-mesocompact .Ifis an set with, then X is base-mesocompact; (iii)Let be a base-countably space and be a base-mesocompact mapping and ,if is normal then X is base-mesocompact.
Key words: base; compact finite; base- mesocompact spaces; base-mesocompact mapping