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基-meso紧空间的若干性质
添加时间: 2019-4-21 12:50:31 来源: 作者: 点击数:1227

耿妮1,张玮琳2,王宪1,周兴1

1.成都理工大学 管理科学学院 , 四川 成都 610059; 2.西安理工大学 理学院, 陕西 西安 710048)

:文章着重证明了:(1)设meso紧空间,,为相对于的基-meso紧闭子集,则是基-meso紧的.(2)是基-meso紧空间,若集,且,则为基-meso紧空间的.(3)设是基-meso紧映射,,如果是正规的基-meso紧空间,那么是基-meso紧空间。

关键字: 基;紧有限;基-meso紧;基-meso紧映射

本文中所讨论的拓扑空间以下简称空间,并用N表示自然数集,表示A的势,表示空间基底的最小势,简称为拓扑势。分别表示集合和集合的开邻域,特别地,分别表示集合的开邻域。表示集合的闭包,表示集合的内部,表示非负整数集或最小无限基数,表示集合的基数。本文所涉及的有关概念、性质及记号和表示方法都是依照文献

定义 1 空间的集族称为紧有限的,如果对的任意紧子集至多与的有限个元相交。

定义2空间称为基-meso紧空间,如果存在的一个基,有,对于的每一开覆盖,都存在,使得的紧有限的开加细。

定义 3 空间的子集称为相对于的基-meso紧的,如果存在的一个基,有,使得对于中的每一开覆盖(即中的开集族覆盖),都存在,使得的紧有限的部分加细,且

定义4映射为基-meso紧映射,若果存在的基,有,对于中的任意紧子集以及中的任意开覆盖,部分加细,使得,并且中集合处是紧有限的。

引理 1  -meso紧空间的闭子集相对于是基-meso紧的。

证明 是基-meso紧空间,为闭集,的基,有,令中的开覆盖,则的开覆盖,由


是基-meso紧空间,所以存在,使为开覆盖中的紧有限加细,则中的紧有限加细。

下面是本文的主要结论及其证明:

定理 1 meso紧空间,,为相对的基-meso紧闭子集,则是基-meso紧的。

证明:(1)设,其中每个都是相对于的基-meso紧的闭子空间。

2)对的基,满足都是相对于的基-meso紧的。

3)令的基,并且满足

4是使得对每个为相对的基-meso紧的基。

5)设的任意开覆盖,对中任意紧子集,取,使得

6)因是紧有限,不妨设紧子集,有

7)令,则开覆盖且加细

8)对每个,由于相对于的基是基-meso紧的,则在,使得中的紧有限的部分加细并且满足

9)令,下证的紧有限且加细

证明  事实上,。否则存在一个,又因为,所以,这与是紧有限的相矛盾。因此的紧有限族。又加细

定理 2 是基-meso紧空间,若子集,且,则为基-meso紧空间。

证明  因为集,设为闭集,则由引理1知,为相对于的基-meso紧空间,由于,则为相对于的基-meso紧空间,由定理1为基-meso紧空间。

定理 3  空间的基-meso紧空间当且仅当存在的一个开基,有,对于的每个开覆盖,都存在,使得紧有限的开加细,并且满足

证明  

假设是基-meso紧空间的开覆盖,则存在一开基,有,使得的紧有限的开加细。令,对每一个,满足。构造,则是紧有限的。否则,设中的任意紧子集,存在的开邻域中的可数无限个相交。由存在无限多个中的相交,这与是紧有限的集族相矛盾。所以是紧有限的,显然加细,并满足

因为紧有限的开加细,所以是基-meso紧空间。

定理 4  是基-meso紧映射,,如果是正规的基-meso紧空间,那么是基-meso紧空间。

证明  是满足基-meso紧的基,的基,,对于满足基-meso紧性。令,下证的满足基-meso紧的基。

的任意一个开覆盖,是对于满足基-meso紧性,对于任意的紧子集部分加细,使得,并且中的集合处是紧有限的。

是正规性,,使得,则

,是基-meso紧性的,有紧有限的开加细,,取紧子集,使得,令,则的加细。

下面证明是紧有限的。

事实上,是紧有限的,对于中任意的紧子集

,存在有限集,使得。设,如果,则,使得, ,从而;如果,则.因为中集合处是紧有限的,所以紧子集含于的有限多个元中,即为紧有限的。

参考文献:

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Some Properties of Base- mesocompact Spaces

Geng Ni1Zhang Weilin2Wang Xian1Zhou Xing1

1.School of Management Science, Sichuan University of Technology, Chengdu 610059, China;2. College of science, Xian University of Technology, Xian 710048, China

Abstract: In this paper, it is proved emphasizely that: (i) If X is mesocompact and the countable union of closed base-mesocompact sets relative to X ,then X is base-mesocompact; (ii) Let X be base-mesocompact .Ifis an  set with, then X is base-mesocompact; (iii)Let  be a base-countably space and be a base-mesocompact mapping and ,if  is normal then X is base-mesocompact.

Key words: base; compact finite; base- mesocompact spaces; base-mesocompact mapping

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