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1.立项时间、研究的主要内容、方法及实施情况
2.研究取得的主要成果及自我评价
我校由刘定邦老师主持的吉安市级课题《初中学生数学问题解决与思维能力培养的研究》于2009年5月立项，经过二年来的研究，达到了预期的研究目标，现把课题研究的主要内容、方法及实施情况以及取得的成果汇报如下：
在数学教学中，开展问题解决的学习对学生来说有着重要的意义，它为学生的主动探索与发现提供空间与机会，是培养学生思维能力发展的有效途径。“问题解决”强调学生通过“做数学”来学习数学，强调学生的主动参与，强调数学地思考、评价、判断现实生活中的问题。一个良好的问题解决过程实际上学生探究、发现，实现“再创造”数学的过程。
当前，课堂教学仍存在不少违背时代要求的种种误区。如“注入式”、“标准化”的状况。课上，教师一言堂、满堂灌，学生抄条条；课下教师设下“漫漫题海”“重重考山”，学生则忙于画勾打叉。这种情况会抑制学生能力的发展，尤其是创造力的开发，也不适应社会主义市场经济的要求，市场经济是主要建立在生产者个体主动行为基础之上，并且以生产者个体参与经济竞争的积极性和效益为主要推动力的经济，为此，培养未来公民形成鲜明的主体精神和创造性解决问题的能力已成为新时期社会经济发展对教育提出的必然要求。创造性解决问题的能力是人所特有的能力，但它是以潜能方式存在的，必须通过人们的自觉开发和积极运用才能发挥作用。课堂教学应当以学生为本，把着眼点定位在培养学生的主动精神上，注意培养学生的好奇心理和探索精神，注意培养学生能顺利的解决数学问题以及实际生活中的问题，以培养思维的独创性和创造性，使他们能够在活泼和愉快的情境下学习，最大限度地发挥创新的潜能，激发他们敢想、敢说、敢做，并加以正确引导。
1 、 研究背景
在2008年，我们就意识到课堂教学是提高学生成绩的主要渠道，也是进行思想教育的主阵地。要让学生全面发展，功夫在课内，而不在课外。但不少课堂变成完成教科书为主要目标，照本暄科的现象经常出现，课堂缺乏生机。我们就开始有意识的研究课堂教学模式的优化，曾提出了提高能力，开发智力，主动探究的教学模式，但因条件不成熟，只能获得一些肤浅的认识，但体会到顺利解决问题，培养能力是课堂教学的目标。在去年的课堂教学创优活动中，我们更深一步是认识到，我们当前的课堂教学缺泛活力，没有从教学的本质上开展教学活动，学生也只有机械吸收，没有从体验、发现中去认识知识的发生与发展过程。让学生主动地解决问题。
在酝酿了一整年时间，我们就以课堂教学为突破口，开展了一系例的研究活动，我校争对数学课上不活这一特性，曾借助多媒体教学来优化教学教程，让信息技术与课程开发相整合，结累了一点经验。随着新课标的全面实施，新教材全面使用，总感觉到学生对数学知识不能深入理解，遗忘率非常大，解决数学问题的能力不高，特别是利用数学知识解决实际问题，将实际生活中的问题转化为数学问题，教学与解决实际相脱节，在考试时失分率较高，经过思索，体会到是我们的课堂达不到新课标的要求，课堂教学的单一，教学手段简单机械运用，学生机械被动地听讲，不能达到体验知识发展与发生的过程，针对这一现象，我们提出了“初中学生问题解决与思维能力培养的研究”这一课题，结合我校实际情况与教学手段，进行这一课题研究基本成熟。
1.1、课题提出的背景：
知识经济的日益发展，世界经济的激烈竞争，现代科技的突飞猛进，信息时代的来监，迫切需要有创新精神和实践能力的人才。爱因斯坦说：“提出一个问题比解决一个问题更加重要。”一个习惯于接受现成答案而不能产生问题的学生，是绝对谈不上创新的。《数学新课程标准》指出：“初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。”
1.2、本课题所要解决的问题：
初中学生尽管经历了同由形象思维到抽象思维的过渡，但经历与阅历不够，阅读面还不够全面，经验还不丰富，思维仍处理形象思维阶段的比重较大，许多事物在大人看来是司空见惯的，但他们却可能不理解，所以相对于初中学生来说，他们的好奇心还很强烈，但是在当前的数学教学中，我们却看不到学生大胆地提出问题，到底是什么让学生不愿这样做呢？
根据调查发现，学生对数学现象好奇，但不原主动去探求，不会主动去发现问题，解决问题，数学问题意识还比较落后，提出数学问题的能力较差。所谓数学问题意识：指人们在数学认知活动（数学概念的学习、数学命题学习、技能形成与问题解决）中意识到一些难以解决的、疑虑的实际问题或理论问题时产生的一种怀疑、困惑、焦虑、探究的心理状态。这种心理状态驱使个体积极思维，不断提出和解决问题。
因此， 在初中数学教学中，提出问题与解决问题比常规教学更为重要，也是要重点研究的课题：针对当前学生的状况，我们着重研究如下两个问题。
1.1.1、问题解决型的学习方式。
构建“创设问题情境——思考问题---提出问题----探索问题——解决问题”的学习方式。
1.1.2、培养学生解决实际问题的思维能力。
构建“课前猜测——课堂达标——课外深化——合作探究”的训练机智。
2、课题研究的目的意义
在中学数学教学中，开展问题解决的学习对学生来说有着重要的意义，它为学生的主动探索与发现提供空间与机会，是培养学生思维能力发展的有效途径。“问题解决”强调学生通过“做数学”来学习数学，强调学生的主动参与，强调数学地思考、评价、判断现实生活中的问题。一个良好的问题解决过程实际上学生探究、发现，实现“再创造”数学的过程。
3、课题核心概念
“数学问题解决”是指学生在新的情境状态下，运用所掌握的数学知识对面临的问题采用新的策略和方法寻求问题答案的一种心理活动过程，其核心是思考和探索。
4、课题研究的内容
4.1、问题情境的刺激模式。教师设置各种带有导向性、启发性、思辩性的问题，创设课堂“数学问题”的情境
4.2、创设自由探究的空间。
4.3、发展学生问题表征的能力。
4.4、大胆提出假设和积极思考。
5、课题研究方法与措施
5.1、课题研究方法
5.1.1、行动研究法----在数学学习过程中研究。
每位参加实验的教师和学生都可以看成是“数学问题”创设的思考者、实践者和探索者，即师生在数学学习行动研究中不断地提出问题，不断地解决问题，使学生的数学学习始终在一个“问题解决”之中。
5.1.2、个案分析法----用案例分析的方法进行研究。
在课题研究中，对特殊案例进行调查、分析、比较。如：学生在计算方法中的问题意识，在学习解决问题中的问题意识；再如：某一、两个学生对问题的思考和提出问题的深度和广度等等。
5.1.3、文献研究法----查阅有关资料进行研究。
查阅和学习数学学科和其他学科有关“问题解决”方面研究的经验和成果。
5.2、主要的操作措施:
5.2.1、调查研究：通过平时与学生的交谈，及教师的观察，以此分析低年级学生不愿提出问题的原因，为后面的研究奠定基础。
5.2.2、理论学习：加强理论学习，丰富实验教师的知识贮备。
5.2.3、课堂实践：采用教师引导、小组合作、分析错例、多向思维等教学策略，逐步提高低年级学生解决问题的能力，让学生的思维得到不同程度的发展。
5.2.4、反思总结：在实践中不断反思，最后进行课题研究总结，将实践探索从理论上加以升华。
6、课题研究读书学习计划以及具体时间安排
6.1、阅读刘兼、孙晓天主编《数学课程标准解读》北京师范大学出版社。每天保证阅读30-60分钟。（完成时间：2009年4月——2009年5月）
6.2、阅读杨庆余主编《中学数学课程与教学》高等教育出版社。每天保证阅读30-60分钟。（完成时间：2009年5月——6月）
6.3、阅读李树光主编《中学数学教学论》人民教育出版社。每天保证阅读30-60分钟。（完成时间：2009年6月——9月）
6.4、阅读其它有关数学教学的文章与著作，经常上网查阅相关文献资料。（完成时间：伴随整个研究过程）
7、完成读书笔记与课例分析的具体时间安排
7.1、每周撰写1-2篇阅读心得，每三月一篇读书笔记，研究过程中完成读书笔记。
7.2、建立课题博客（参见夏天雨荷博客），及时发布研究进展信息和学习、研究体会。
7.3、课例：《义教版中学数学七年级〈有理数的乘方〉教学设计与反思》。（完成时间：2009年9月）
7.4、课例：《义教版版中学数九年级〈解决问题的策略〉教学案例与评析》。（完成时间：2010年6月）
8、研究成果形式
8.1、对学生数学思维能力培养进行评估。（包括质的分析和量的调查）
8.2、“问题解决”课堂教学展示，撰写教学案例。
8.3、研究报告，汇编教师论文集。
8.4、学生解题与方法小论文集
9、研究的成效分析
本课题实施二年以来研究，学生的学习行为发生了变化，提出的问题已经能从自身的需要出发，具有一定深度和独特性，解决问题的策略呈现多样性，课堂质疑问难的触角延伸到课外。几乎每一节课学生都会有几个问题来“考考老师”，去“问问书本”，去拜访“网络”，真是“满园春色关不住”。实验表明，培养学生数学问题意识的方案有利于提高学生的创新意识和实践能力，有利于学生的可持续发展,也有利于教师转变观念，发展自己。总之，在适宜的土壤中运用适当的方法去培养中学生的数学问题意识，有一定价值的问题会“不尽长江滚滚来”！它促使学生主动地、创造性地学习，从而发展学生思维，增强学生能力，提高学生的学习效果。我也取得了较为丰硕的理论成果和实践成效，基本达成了预期的研究目标。
9.1、通过平时的观察、谈话，分析出了初中学生不愿提出问题的原因。
9.1.1、初一年级学生刚刚从小学进来，很多习惯还停留在小学阶段。不能完全适应学校的学习生活，在学习活动中，他们的注意力很不稳定，爱做小动作。他们常常无视课堂纪律的存在，一会儿弄橡皮，一会儿玩铅笔，身边的每一样东西都可能成为他们手中的玩具。作为老师，有时候为了让教学顺利地进行，常常控制着学生的一举一动，学生在被动的状态下学习着数学，自然对数学也就失去了兴趣，有句话说得好：“兴趣是最好的老师。”兴趣没有了，我们又怎么奢望学生能大胆地在数学中提出问题呢？
9.1.2、有的老师总认为老师就应该有个老师的样，不能和学生嬉皮笑脸，不然就很难管好学生，所以在平时，对学生总是很严肃，学生一看见老师就望而却步了，有些学生发现问题可能并不一定在课堂上，而有可能在课外，但是他们不敢把自己发现的问题告诉老师，在学生心中，这些问题可能永远是个谜。
9.1.3、传统的师道尊严也使这些学生受到了影响,特别是年龄偏小的学生对老师是非常崇拜的，在他们心里老师说的话都是对的,老师说什么就是什么,即使当老师发生错误时，他们也不敢大胆地提出问题。别林斯基说过：“学生如果把老师作为一个范本，而不作为敌手，永远不能青出于蓝而胜于蓝。”
9.2、通过课外、课内的一些途径，努力让学生愿意提出问题
为培养学生的数学问题意识奠定基础。爱因斯坦说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”在数学教学中，我努力做到以下几点来让学生敢于提出问题：
9.2.1、拉近和学生的距离
在平时，作为教师，除了要做良师，给学生传授数学知识，更要当益友，建立融洽、平等的师生关系，消除学生的心理障碍，让学生感觉到老师喜欢和他们在一起，喜欢听他们说话，这样他们就愿意亲近你，愿意把心里的想法告诉你。
9.2.2、保护学生的好奇心
学生对一切不理解的新异事物都感兴趣，对于他们来说,生活中的点点滴滴都是一个大大的“?”,他们渴望更了解这个世界。在家里，他们可以问父母，在学校，他们更想问的是老师，因为在他们心里，老师是博学的长者，什么都知道。对于学生的这种好奇心，作为老师和家长要很好地爱护和激发，耐心地解答学生的问题，实在不能解答的也要作很好的解释，如：我们可以试着这样告诉学生：“哎呀，你的问题可真把老师也难住了，愿意想其他办法找找答案吗？找到答案后，可千万要记得告诉老师啊！”这样做，不但保护了学生的好奇心，让学生愿意独立地去解决问题，也免除了老师回答不上来这样一个尴尬。我们绝不能不理不睬，甚至不耐烦，有意见，发脾气，扼杀他们的好奇心和认识兴趣，久而久之,学生就可能再也不敢提出问题了。
9.3、营造轻松教学氛围
罗杰斯认为，一个人的创造力只有在他感觉到“心理安全”和“心理自由”的前提下，才能获得最优表现和发展。所以在课堂上，首先教师教态要亲切自然，即使有时候有的学生提出可能很幼稚的问题，我们仍应加以肯定和鼓励，以此来激发学生的质疑积极性；其次我们还要重视培养其他学生尊重他人发言的良好习惯，能做到先倾听完别人发言然后再举手，不要因为其他学生不恰当的表现而让发言的学生感受到压力，挫伤其自信心。总之，我们要努力为学生营造一个宽松、和谐、平等、融洽的教学氛围,让学生在课堂上能有最佳的表现。
9.4、通过多样的教学手段，培养学生解决问题的能力。
学生有勇气提出自己的疑问,这只是第一步，让学生解决问题才是最终目的，“授人于鱼，只供一食之需，教人以渔，则终生受用。”学生解决问题的能力并不是一下子就可以提高的，我们应该针对初中学生的认知水平,结合教学实际循序渐进地提高学生解决问题的能力。学生参加全国初中数学竞赛，2009年5月，我校学生龙诺明获全国一等奖，谢润忠获全国三等奖，2010年，我校又有一人获国家三等奖。
9.4.1、教师引导，逐步理清思路
《数学新课程标准》的基本理念中有这样一条：“数学教育要面向全体学生。”每个班的学生总各有各的差异，有的反应快一些，老师只要稍加点拨就能马上领悟，而有的后进生则可能需要老师讲好多遍才能明白。我们在数学中不免会碰到一些比较难的题目，这些题目对后进生来说是比较吃力的，可能因此他们对数学题产生了恐惧，所以培养学生学习数学的兴趣是极为重要的。为了让这些学生也能理解这部分题目，其中少不了老师的引导。
例：在初一年级数学下册的《数学作业本》中出现了一道带“*”的题目（带“*”的题目表示此题目有一定的难度，需要学生仔细开动脑筋）：把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分别填入一个正方形的九格中，使每条横行，每条竖行，对角线的三数之各都相等。这个题目有的学生认为不难，而且最后有一部分学生也能做出来，但是真的要他们说说你是怎么想的？大部分的学生可能是回答不出来的。象这样的题目，我选择的教学方式是：通过教师提问让学生动脑思考，以此来理清思路。
首先我问学生：“题目中说的每横行，竖行，还有对角线的三数之和共有几个各呢？”学生回答：“三个横行，三个竖行，还有两条对角线共八个各”。
其次我让学生观察图,说说你从图中知道了什么?学生发现：(1)9个数中有4个在角上，4个在每条边的中间，还有一个数填正中;(2)计算时，中间这个数用得最多，共用了4次，角上的四个数用了三次，每条边上中间这个数用了两次。
根据学生的发现，我顺势告诉学生，所以，我们确定中间这个数是多少，是这个题目的关键，这9个数的和是45，每个数至少用了2次，所以总和比45的2倍要多，问题的关键是还有4个数用一次，一个数用2次，之和要被8整除，大于90而小于135被8整除的数有96，104、112、120、128、经过试算，和为120这一组比较合适，各边之和是15，中间这个数是5，接下来是找四个角上的数，因为和是15。找配对为10，只有1与9，2与8，3与7，4与6，若一组对角填1与9，另一组对角只能填3与7，这样也填不成，换一种搷法，一组对角填2与8，4与6，成功。
通过老师的引导，学生理清了这类题目的解决方法：（1）明确题目意思；（2）分析图，得出数的特征；（3）分析数据；（4）找到解决办法。那些后进生也能在老师的引导下，开动脑筋，成功地解决了这类问题，他们感受到带“*”的题没有让他们“望而却步”，反而享受到了解题带来的无限快乐。
9.4.2、小组合作，共同探究方法
《数学新课程标准》中对能与他人合作学习也提出了一定的要求。小组合作学习是针对学习的组织形式而言的,相对的是“个体学习”。在课堂上，教师把主动权还给了学生，成绩好的学生可以听听小组内其他成员的想法，而那些后进生则有了一个表达自己想法的机会，在这个共同探究，共同学习的过程中，不同的学生都得到了不同的收获。所以作为教师，我们要给学生选择适合小组合作学习的内容，要有序的组织好这样一次活动，让其发挥最佳的效果。
例：初中学生思维绝大部分还停留在形象思维为主的阶段，要使他们把抽象的数学知识转化为形象的生活实际，须创造形象的思维背景，良好的课堂操作条件，让学生自已操作，小组合作，共同感受、观察，触动思维的自主地，自由地进行猜想，才能把抽象的概念，物化的直觉现象，内化的学习的智能，从而揭示事物内在的本质属性。
如：在教学多边形的内角和时，引导学生做剪纸数学实验，请同学们拿出准备好的剪刀、一张三角形纸片。并依次剪去一个角，观察每一次得到的是一个什么样的图形？
学生立刻进行动手操作，班级气氛很快地活跃起来。一些学生急不可奈地发言。
生1：每剪去一个角，图形多了一条边，从三角形依次变为四边形，五边形，六边形，……
生2：我与生1相同。
我对这两位学生的回答表示肯定并给予鼓励。此时，班上一位思维较活跃的生A高高地举起了手，大胆地说：“我有不同意见，三角形剪去一个角后，可能是四边形，也可能仍然是三角形。” 教室里顿时静了下来，大家都看着他。这时学生的思维被愣了一下，我就势引导：“你怎么想的？”
生A：从边上开始剪和从顶点上开始剪都是剪去一个角，但结果却是不一样。（如下图）
 
然后我叫生A到讲台前演示他的操作并给予他很高地评价和鼓励。我因势利导，提出：“若我们剪去四边形的一个角，它又会如何变化呢？全班学生就纷纷动手操作，并很快议论起来了。之后，我叫了一位学生回答，并上台进行了演示。
生：四边形有可能变为三角形、五边形或仍然是四边形
师：那n边形（n大于3的自然数）又怎么样呢？
  
生：可能会变为n-1边形，n边形，n+1边形（对学生提出的问题进行分析、探究、充分调动了学生的主观能动性，也显示了教师的讲台是开放的，学习的主动权是学生，这正体现了新课程的教学理念）.
让学生在合作操作中真正经历了一个学习的过程，在探求中了解了知识的发展过程，在体验中求得了新知识，同时提高了学生学习数学的兴趣。
在这次小组合作学习中，学生有了更多探讨与交流的机会，即使是那些后进生也通过自己的发现，在活动中，他们也得到了他人的肯定与欣赏，让他们获得了成功的喜悦。
9.4.3、寻找错误，巩固自身知识
作为老师，我们都希望学生养成完成题目后认真检查的好习惯，但是对于低年级的学生来说，要从自己做得题目中找到错误，又谈何容易？可如果让他们找找其他小朋友题目中的错误，他们却信心十足，兴趣高涨，而且往往能取得意想不到的效果。所以在课堂上，我们可以大胆地设计这样一些环节，如“啄木鸟爷爷帮小树捉虫子”、“医生帮助病人看病”“替小马虎找错误”之类的活动，学生总是睁大了眼睛，认真开动着脑筋。
  例：在教学《用代入法解二元一次方程组》这一课内容后，学生的练习中还是存在着许多问题，如：在教学解二元一次方程组用代入法解方程组时，教学完例题后，我出了这样一道题让学生独立尝试完成.学生开始笔算，我巡视一周，发现一位同学是这样解，我把这个学生的解题过程抄在黑板上。
解：由①得，2x=3+3y……③，把③代入②得，2×(3+3y)+5y=11, 11y=5,y= .……
请同学们对照黑板上的解法分组进行讨论，你认为这样解正确吗？你认为要怎样解，为什么？全班交流。
生1：这样解是错误的，不能直接用2x=3+3y代入x,应由①得:x= 代入求出y=1。
生2：我以为可以用2x代入，但代入以后应该是(3+3y)+5y=11,求出y=1。
生3：我赞成***同学，用2x=3+3y代入是整体代入，解法还更简便。
师：OK，同学们能够认真分析，积极思考，发现了新的解法，代入有时可以用整体代入，不简单。我又习惯地说了一句：大家想想，还有其它解法吗？
生4；可以用加减法。
师：加减法当然可以，但这节课我们还没有学。我是指还有没有其它的代入法来解呀。（这时，很多同学进入了思考，突然有一位同学大吃一惊，发言了）。
生5：老师，有了，可以把2x-3y=3直接代入。（同学们都用惊奇的目光看着他）。
生：怎么代呀。
生5：你看我们只要把②式简单变一形，就可以代了，把②式变成(2x-3y)+8y=11不就可以代入了。代入以后就成了3+8y=11,直接求出y=1吗？
师：厉害，大家同意这种观点吗？我们用掌声为他发现这种方法表示祝贺（全班同学鼓气热烈的掌声）。
许多教师害怕学生出错，最好每个问题学生都能很顺利地回答出来，却不知那种“轻车熟路”多半是“作茧自缚”。课堂就是学生出错的地方，失败是成功之母。好的教师在课堂上不仅不能怕学生走错路，而且在课堂教学中还要有意识地预设一些错误，激发学生自己去怀疑、去探究、去发现，促进有效的深度互动。
教师通过让学生独立尝试计算的方式，使学生中的错误暴露出来；接着，教师把这些错例呈现在黑板上，作为教学的资源加以利用；教师不急于解决这些计算中的错误，而是通过小组的讨论与交流，通过师与生，生与生之间的思维碰撞，帮助个别学生解决思维过程中的障碍，使不同的学生在原有的基础上都有一定的提高。并加以提练，发现一些新的解法，培养了学生的创新意识，课堂教学进入了另一番景象，由此可见，把学生的错误做为资源加以利用是真实的课堂教学的手段。通过错例分析，找出了原因，总结了规律，解决了问题，学到了知识，同时又培养了学生批判性思维和自己改正错误的能力，课堂上的错误是教学的巨大财富，教师要善于利用这一“财富”，变学生的错误为促进学生发展的资源。
也许对于这些学生来说,能从别人的作业中找到错误是相当有成就感和满足感的一件事,作为教师何不好好地利用这一点,让学生能自主的地去发现题目的错误所在,以此来达到巩固学生自身解决问题的能力呢?
9.4.4、多向思维，拓宽思维空间
我国传统教学往往注重发展学生的求同思维,而忽略了学生的求异思维的训练,无形之中使学生形成了一个固定的思维模式,严重影响了学生的观察力、好奇心、想象力和主动性的培养。因此，老师应鼓励学生通过自己的思考，求新、求异，从不同的角度来思考问题，彻底改变那种给每道题事先人为的确定一个“唯一的标准答案”的做法，让学生有自己的想法，用自己喜欢的解法来解题。
 在一次初三月考中，试卷中有这样一道题， “如图1，等腰三角形的顶角∠A=108°BC=a, AB=b, BD平分∠B交AC于点D，求AD的长。”
评分标准给出的答案，其解法为：
如图2，过A点作AE∥BC交BD的延长线于点E，
则∠E=∠CBD，
 ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，
∴∠E=∠ABE，∴AE=AB=b,
又AE∥BC，∴ ，即 ，
 ∴ 。
批改试卷时，我发现学生从另一角度，又得出了这样一种解法：
在BC上截取BE=BA，连接DE（如图3），
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，
又BD=BD，AB=BE，
∴△ABD≌△EBD，∴∠BED=∠A=108°，
∴∠CED=180°－108°=72°又AB=AC，∴∠C=36°∴∠CDE=72°
∴CD=CE=a-b，∴AD=AC-CD=b-(a-b)=2b-a.
参考答案是用相似法来做，而学生用全等法来做，两种解法，方法都合理，答案怎么不唯一呢？怎样评分更科学，合理。是不是题目本身存在问题呢，还是某种解法存在错误呢？为了对问题有一个较好的解释，我把问题留给了学生，让学生自已去解决。
在讲解试卷时，我引导学生从两个不同的答案入手，探究问题的解决方法，达到了意想不到的效果：:两种方法，结果不一样，谁对谁错，总得有一个交待嘛。一个学生说：“老师，是不是存在 可以化简成2b-a.呢？”我接着说:：“a与b可能存在某种关系， 经过变形化简后就是2b-a” 。大家带着这个问题，进行了研究,果然， ,证明如下：
 在BC上截取BF=BA，连接AF（如图4），
∵AB=AC，∠A=108°，∴∠B=∠C= 36°
∵BF=BA=b, ∴∠BAF=72°
∴∠FAC=∠C=36°, ∴AF=FC=a-b
又∠B=∠C，∠BAC=∠AFC
∴△ABC∽△FAD，∴ 即 ，∴ ，
即 。
由此可知， 相等，结果的实质一样，形式不同。
数学是讲究严堇谨的，科学的，按理不应该一个问题，出现两个不同的结论，除非图形不唯一，或结论是开放的，但在本例中，图形是唯一的，结论也是封闭的，却出现了两个不同的结果。我们可以说，这是一个新的挑战，也是培养学生创造性思维的一种良好策略，结论不同，但实质是一致的，因为它们是相等的，隐藏着丰富的内在联系。在讲解时，我又向同学们提出，不给出AB=b，是否可求出, AB呢？课堂上，我让学生去试一试，学生经过大胆探究，找到了解决问题的途径。
方法一：证出 后，把 看作关于b的一元二次方程，可以求出b，
 解： 可化为： ，解此方程得：
 ,
所以 。
方法二：延长BA，作△AFC，使CF=CA(如图5)，
∵AB=AC，∠A=108°，∠B=∠C= 36°
∴∠CAF=72°.又CA=CF，∴∠AFC=72°，
∠ACF= 36°，∠BCF=72°∴AB=AC=FC, BF=BC, AF=BC-AB=a-AB
∴△BFC∽△FAC，∴ 即 ,
设AB=x,得 ,解这个关于x的方程得:
 .
由此,在进行一些几何的计算题的设计时,可以挖掘图形的基本性质, 利用学过的知识，有意识地增加一些多余的条件,让学生去甄别，引导学生寻求解决问题的最佳途径,拓展学生的思维,让学生在对比中求异,创新,有利于学生创造性思维的培养。
通过这样一种形式的课堂教学,学生不但把自己的智慧成果与其他学生进行分享,从中尝到了思考的乐趣,而且学生与学生之间也互相学到了更多的思考方法!
9.5、重视理论联系实际，让研究结出丰硕的果实。
通过理论学习和课堂实践相结合，论文发表情况如下：
刘定邦老师的论文《动使课堂成为学生的乐园》获全国教育科研优秀论文一等奖、发表于《现代教育导报》2009年第2期、《吉安教育》2009年第7、8期合刊；
刘定邦老师的论文《巧用学生错误的收获》发表于北京师大的《中小学数学》2010年第5期；
刘定邦老师的论文《初中数学课堂精彩导入“十法”》发表于杨州大学的《初中数学教与学》2010年第7期；
刘定邦老师的论文《求最值问题的八种方法》发表于江苏大学的《数学教育研究》2010年第6期，获全国新世纪杯教师征文评比一等奖；
刘定邦老师的论文《让学生在充满乐趣中学习数学和》发表于中国教育学会的《中国教育学刊》2010年第3期，获全国教研成果展示一等奖；
刘定邦老师的论文《规律让学生自已去发现》发表于杨州大学的《初中数学教与学》2009年第4期；
刘定邦老师的论文《授之于鱼不如授之于渔》发表于《吉安教育》2010年第3、4期合刊上；
刘定邦老师的论文《求最小公倍数简便十种方法》发表于《吉安教育》2010年第6期上；
刘定邦老师的文《落实素质教育，促进学科均衡发展》载于《江西省均衡教育发展战略报告》江西科术技术出版社2009年12月；
刘燕民老师的论文《线随形动，慧眼识平移》发表于北京师大的《中小学数学》2010年第6期上；
刘燕明老师的论文《对九年级数学教材的几个建议》发表于《中小学数学》2009第12期上；
刘燕明老师的论文《初中数学教材中值得商榷的问题》发表于《江西教育》2010年第17期上。
9.5.1、初步总结了问题解决的基本过程
面对一个具体的问题情境，学习者要通过一系列步骤才能系统地解决问题，得出答案。教师应该把学生的问题解决看成一个过程，让他们以一种逻辑的、有序的方式组织自己的行为。通过二年的课题研究，我校王娜老师2010年11月参加全市初中数学教师基本功大赛获课堂教学一等奖，教案设计一等奖。我初步总结了问题解决一般经历以下四个步骤：
9.5.1.1、理解问题
问题解决过程的第一步就是让学生思考他们要解决的是什么问题，这是学生在解决问题之前最重要的一步。如果学生不明确他们要做什么，下面的步骤也不可能做好。这一步，可以让学生用自己的话重新表述问题，解释这个问题要他们做什么；也可以让他们在小组中进行讨论，倾听其他人的想法。
9.5.1.2、选择计划
这是关键的一步，学生必须决定如何解决这个问题，也就是学生需要确定一个解题的计划或策略。在这个阶段进行讨论能帮助学生确定或选择合适问题解决的策略。
9.5.1.3、实践、优化计划
在这一步，学生要对讨论的方法进行实践，比较，优化。有时，学生在尝试的过程中发现同学们提出的几种策略并没能解决问题，或者无法操作，这时应尝试放弃或改进，最终得到最理想的问题解决的策略。
9.5.1.4、反思做法
一旦问题解决了，就应该让学生静下来，反思在这个过程中他们做了什么。教师可以让学生评价在活动中自己的表现；说一说自己碰到了哪些困难，又是如何解决的；在活动中如何与他人合作，评价伙伴们学得怎么样；最后自己有哪些收获……这一步能让学生对学习过程进行系统化的整理，扬长避短。
最后，教师要引导学生遇到实际问题时按照这一过程有条理地、灵活地运用解决问题的策略，使学生成为有效的问题解决者。
9.6、课题研究促进了学生和教师的成长
9.6.1、有利于学生“问题意识”的培养。
美国著名学者布鲁巴克很精辟地指出：“最精湛的教学艺术，遵循的最高准则就是让学生自己提问题。”但是有专家在中西方教育的比较研究中曾说：“中国衡量教育成功的标准是：将有问题的学生教育成没问题，全懂了，所以中国学生年龄越大，年级越高，问题越少。”在课题实施之前，笔者曾对本校中、初中学生进行了下面两个问题的调查：
1、你在课堂上或生活中给别人提出过数学问题吗？
2、当你面对生活中需要解决的问题时，你会想到学过的数学知识吗？解决过的数学问题吗？
调查结果表明，有90%以上的同学不会主动向别人提出数学问题，也没有用数学知识解决生活中问题的意识和经历，他们学习数学的目的就是为了考试。在一年的课题研究中，我校数学组教师组织了学生写数学日记、编数学小报，同时要求学生根据在校外收集的数学信息提出数学问题等活动，引导学生将数学知识和生活实际联系起来，学生在活动中感受到数学的实用价值，感受到学习数学的乐趣，这就促进学生主动的去观察生活，从中提出数学问题，并自觉地运用数学知识解决问题，从而形成良好的问题意识。
9.6.2、有利于学生的主动发展，促进思维的发展。
课堂教学的目的，绝不是要消除差异性，而是为了给每个同学提供适合他们发展的条件，促使他们更好地发展。“问题解决”给学生提供了依据各自的数学现实，调动各自原有的知识和经验，运用有个性的思维方式创造性地解决问题。虽然学生问题解决的方法有时不同，思维水平的高低不同，但只要教师能创设好平台，做到人人参与，亲身经历探索发现问题解决的过程，就能真正实现“不同的人在数学上得到不同的发展。”
9.6.3、有利于拓展学生学习数学的空间。
课题的实施，使学生学习内容更加丰富：学生在学好书本知识的同时，还戴上“数学”的眼镜深入到了实际生活中，把数学与生活紧密地联系在了一起，学得更加有滋有味。在这一年中，笔者带领学生共同研究了“购物中的数学问题”、“旅游中的数学问题”、“拉面中的数学问题”、“汽车里的实际问题”、“报刊中的数学问题”、“菜场上的实际问题”“钟面上的数学问题”、“银行存款问题”等问题，使学生从课堂走向课外，充分挖掘了学生学习数学的资源。在解决问题的过程中学生对数学问题比以前更感兴趣、更主动、更有热情地投入到各个数学问题中去。
课题的实施，学生学习的能力得到了进一步地加强：在问题解决的过程中，加强了学生动手操作的能力。古人云：“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。说的是人们要想深入了解和认识事物，就必须亲自参与尝试、体验、亲自去做。在《正方体展开图》教学时，通过让每个学生制作一个正方形的礼品盒，在制作前的材料准备、制作的过程中就把、正方形的特征、性质掌握其中，然后引导学生从不同的角度剪裁，可以得到什么样的图形，反过来，从逆向考虑，哪个图形能够叠成一个正方体的盒子。不仅体验的深刻、而且学的到位。又如：学生在学完平面面积计算后，在老师的引导下，学生回家对客厅、厨房、卧室等动手实践操作进行了测量，在实际操作的过程中，不仅会计算规则的图形，碰到障碍物时会想办法进行线段的平移，得以顺利地解决，同时当碰到有些不规则的客厅，会利用解决组合图形的分、割等思想方法灵活转化，特别是类似扇形一样比较复杂的图形，有学生采取大量地分割近似地看成若干个长方形计算求得；有人请家人帮助，知道扇形的面积；有人……
由于从学生的角度出度，让学生自已提出问题，解决问题，到了初三时，学生的解决问题的能力明显提高，不少学生能自已去总结解题方法，在老师的指导下，撰写了一些数学小论文，我们根据学生的作品，选编了圆有关内容的学生小论文集一本。
9.6.5、通过课题研究使教师成了称职的引导者
传统的中学数学教学是“应试教育式”，教师是课堂的主宰。即根据不同的问题，教师一开始就像一只“领头雁”，教师“讲”，学生“听”以这样单一地方式来传递问题的答案。通过课题的实施我们积极地倡导自主、合作、探究的学习方式，使我们教师成为学生学习过程中真正的引导者。在课堂上，学生能自己解决的问题，教师决不插手，遇到难处，教师只是合理，适当地加以点拨、引导，决不以教代学；学生针对某一问题发表自己独特观点时，我们热情倾听，适时点拨、评析，时时刻刻注意尊重自己的合作者，即使是与自己的观点相悖，也不一棍子打死。即使学生的观点实在不可取，教师也是委婉地否定，时刻注意保护学生学习的积极性。这样，学生与教师之间在互帮互助的课堂教学中建立了融洽的朋友关系，教师不再是最后结果的定夺者。
9.6.6、通过课题研究提高了教师教学设计能力的提高
“教学相长”学生由于问题解决的能力加强，各方面都得到了发展，而且学生自己享受体验的课堂教学往往要比那些单向灌输的课堂更难以驾驭，教师就要不断地学习，使自己的教学适应现在的课堂，这样教师在课前备课时就应该做到从学生学习需要出发，以促进学生“怎样有效地学”为主要思考坐标，重点解决学生“学什么”“怎么学”“学到什么程度”“采用什么方式学”等问题为主要内容进行教学设计。让学生在课堂上带着一定的情感、态度、价值观去主动地学习、主动地发展。长此以往教师教学设计的能力就不断地在提高，教学过程也不断地得到优化。
10、 研究后的思考
数学问题解决与思维能力的培养是一个长期而艰巨的过程。在教学活动中，只有根据中学生数学问题解决能力的影响因素，聚集各方面有利条件，多渠道采取有利措施，对学生进行问题解决与思维能力培养，学生的数学问题解决能力与思维能力才有可能得以逐步提高。当前我们需要面对的是：中学生的质疑能力仍是比较差的。不少学生因为众多因素的影响，而不愿意提出问题。作为老师我们应当保护学生的好奇心，并鼓励他们参与新奇，有趣的探索性学习活动。其次，教师要精心设置问题情境，满腔热情地鼓励学生提出问题。对于学生提出的问题，教师要给予一定的肯定或赞扬，即使有时候，问题很幼稚，教师也不应打击他们的信心，要努力扶植学生的独创意识，从而使学生学会从多角度全方位地思考问题。对于培养学生的问题意识，应该在每个年级、每堂数学课中进行培养。
课题的研究，对我们来说是一次对老师业务的提高，也是对学生学业水平的一次大洗礼。尽管取得了一定的成绩，但还有不少问题要去解决：
10.1、课题实验过程中影响实验效果的主要关键是教师自身对课题认识的不断增强。教师的教学行为直接影响学生的学习状态和实验效果。主要表现在教师钻研教材过程中，对教学内容的理性把握，对教学环节的精心设计，教学策略的合理运用。因此，帮助教师不断树立“问题解决”意识，提高每一节课的质量，才能真正落实数学课堂是以问题的提出和解决为中心，真正体现将课堂还给学生，学生是解决问题的主人。
10.2、学生“问题解决”能力的形成不是一蹴而就，需要在实践中解决一些生活实际问题，不断积累经验，不断感悟，自主构建。因此，落脚点还在教师能否尊重儿童心理发展过程，优化建构条件，重视生活中数学学习素材的挖掘，引导学生自主构建知识。
10.3、在课堂上摸索实施“问题解决”的教学方式。课堂上有效的实施问题解决是我们研究这个课题的主要任务，在明确了一些概念、理论之后，我们最主要的精力应该是这一块。 到此为止，课题即将结束，但我们的研究仍在继续。 | 
