2016年国家青年科学基金正文模版
正文：参照以下提纲撰写，要求内容翔实、清晰，层次分明，标题突出。请勿删除或改动下述提纲标题及括号中的文字。
（一）立项依据与研究内容（4000-8000字）：
．项目的立项依据（研究意义、国内外研究现状及发展动态分析，需结合科学研究发展趋势来论述科学意义；或结合国民经济和社会发展中迫切需要解决的关键科技问题来论述其应用前景。附主要参考文献目录）；
.1 研究的科学意义
结核病是由结核杆菌感染引起的慢性传染病。结核菌可侵入人体各种器官，但主要侵犯肺脏，称为肺结核病，是我国发病及死亡人数最多的传染病之一。它的主要传播途径是呼吸道传播，传染源是接触排菌的肺结核患者[1]，有一定的潜伏期（一般4~8周）。结核病人经过治疗可减少其身上的结核杆菌，但有些结核杆菌却无法根除，约有10%的结核病人有再次复发的可能，因此具有较高的复发率[2]。肺结核病人根据痰检结果的阳性和阴性又分为传染性肺结核和非传染性肺结核，阴性肺结核病人不会向外排菌，因此不具有传染性，但仍具有较高的复发率。据世界卫生组织不完全统计，肺结核的致死率仅次于艾滋病，位居第二，肺结核病是全球最严重的公共卫生问题之一[3]。
既往数据表明，我国肺结核的病例数及新发病人数比较高，形势依旧严峻。目前，我国肺结核病例数仅次于印度，居世界第二位[4]。我国每年新发结核病人数达800-1000万，每天有8000人死于结核病，每年有300万人死于结核病，结核病已成为我国重大的社会问题[5]。据2000年第四次全国结核病流行病学抽样调查（简称流调）显示，我国是全球22个结核病高负担国家之一[6]；2010年第五次流调显示，2001-2010年全国共发现和治疗肺结核患者828万例，其中传染性肺结核患者450万例，男性的患病率要高于女性，并且随着年龄增加逐步增加，75-79岁组达到高峰[7]。
调查结果表明，我国肺结核具有显著的地域特征和年龄结构。肺结核作为一种慢性传染病，其发生、发展、流行与人口密度、生活习惯、交通、社会因素、环境、气候等都有联系，并且由于其传染性和普遍性，该病的发生、发展及流行是一种空间现象。据资料显示，我国传染性肺结核集中分布在乡村、中西部地区和丘陵山区等地区，这部分地区肺结核疫情严重及疾病造成的经济负担较大。西部地区的患病率约为中部地区的1.7倍和东部地区的2.4倍，农村地区患病率约为城镇地区的1.6倍，从中可以看出，我国肺结核病具有显著的地域特征[8]。2011年卫生部报告指出，肺结核发病和死亡数始终位居甲乙类传染病
之首，15岁到35岁的青少年是结核病的高发峰年龄，65岁及以上人群出现肺结核症状的比率是15-65岁人群的2.9-3.3倍，从而具有显著的年龄结构[9]。因此，对具有空间扩散与年龄结构的肺结核传播机制和发展趋势进行研究具有重要的理论和实际意义。
.2 国内外研究现状及分析
利用数学的理论和方法对传染病进行定性、定量和模拟研究，揭示传染病的发展和传播机理，估计其发展趋势并给出防控策略是传染病动力学研究的重要课题之一。传染病动力学模型研究已有百年历史，最早可追溯到1760年
.Bernoulli 研究天花的预防接种，具有奠基性的工作是1927年由Kermack与McKendrick在[10]中提出的仓室模型，建立了区分疾病流行与否的重要的“阈值理论”，为传染病动力学的理论研究奠定了基础。基于他们的工作，大批学者利用仓室建模的思想研究了传染病的流行与控制，并取得了丰硕的成果。这些研究大多是基于空间均匀假设（即假设易感者、感染者和康复者等在空间是均匀分布的），利用常微分方程、差分方程或时滞微分方程等动力学模型，主要是在时间尺度上考虑系统随时间变化的趋势，寻找使疾病灭绝和持久的条件等等
[11]。
首先，1999年Keeling教授研究表明[12]，空间扩散影响着传染病（如肺结核等）的传播，因此在对肺结核进行建模时需要考虑空间因素。空间均匀场假设的传染病动力学模型通常假设每个个体和其他任何个体接触的机会是一样的，系统动态是在同质空间里研究的等。对空间异质性模型，需要考虑个体或种群的空间位置和他们的空间分布，疾病在空间中的传播具有更强的局部属性。研究带空间扩散的偏微分方程模型，主要是利用反应扩散方程建模。反应扩散方程用连续变量刻画时间、空间及个体的状态，且假设个体在空间的运动是以相同的概率向各个方向随机扩散。反应是指个体变化或物种间相互作用过程，扩散是描述个体的空间运动。反应扩散模型可分析出个体在空间扩散速度等相关问题，进而很好地反映个体时空分布的形成和变化规律。
基于反应扩散方程的传染病动力学模型是很有意义的工作，不但具有更为丰富的理论内涵，而且能全面揭示疾病传播的潜在实际。Allen教授等[14]建立了基于反应扩散方程的空间传染病模型，其中假设易感者和感染者在空间中均可自由移动，且感染率和康复率在空间中不是常数，给出模型的基本再生数，研究了平衡点的稳定性。并指出只限制感染者的活动未必能遏制疾病的传播，而通过接种疫苗和治疗将环境空间化为低危区，或通过隔离局部限制易感者的移动，则疾病有可能被消除。王稳地教授等对登革热的研究发现，感染率和康复率在空间上的非均匀性对疾病动力学起着重要的作用, 通过空间平均化得到的常微分方程系统可能很大程度地低估疾病的危险[15]。但遗憾的是，据参阅文
献所知，目前还没有学者利用反应扩散方程对肺结核的传播动力学行为进行研究。因此，对反应扩散的肺结核动力学进行建模并分析其动力学行为，将帮助我们更好的认识肺结核的传播机理，准确分析疾病的空间分布特征，从而有的放矢地制定预防和控制措施。
其次，肺结核的传播与年龄结构有着密切的关系，是一个不可忽视的重要特征。例如，15岁到35岁的青少年是结核病的高发峰年龄，65岁及以上人群出现肺结核症状的比率是15-65岁人群的2.9-3.3倍；为预防肺结核，按年龄接种疫苗是最为广泛应用的措施。传统的常微分方程模型没有考虑不同年龄群体对肺结核传播的差异性，因此在对肺结核进行建模时需要考虑年龄结构。这些与年龄有关的模型大都以一阶偏微分方程组或常微分偏微分方程组混合的方式来建立的，通常称之为年龄结构或类年龄结构模型，其模型分析的复杂程度要高于泛函微分方程。
具有年龄结构的传染病模型作为传染病动力学的重要内容之一，已经有了很好的研究[16-19]，但年龄结构的肺结核动力学模型的研究没有太多的进展。Hoppensteadt最早建立和研究了年龄结构流行病模型[16]，该模型不仅具有年龄结构，而且具有类年龄(即个体在相应类所度过的时间)结构，由于模型比较复杂，作者只讨论了解的适定性，而对该模型平衡解的存在性和稳定性至今仍没有人讨论。但此后，人们对它的各种特殊情况进行了许多研究，得到了一些有意义的结果。Webb在专著[17]中介绍了非线性年龄结构种群模型和传染病模型的基本问题和处理方法。李学志等在[18]中利用半群理论和稳定性理论研究一些高维年龄结构传染病模型。Magal和Ruan在[19]中利用积分半群理论、中心流型定理和Lyapunov-Perron方法将类年龄结构模型抽象为非稠密定义域半线性的Cauchy问题，得到模型Hopf分支存在的充要条件，等等。这些结果为建立和研究年龄结构的肺结核动力学模型提供了一定的理论基础。
相对于常微分方程和时滞泛函微分方程模型的稳定性分析，具有年龄结构或类年龄结构传染病模型的全局稳定性研究的复杂程度要高于泛函微分方程。研究具有年龄结构或类年龄结构的肺结核动力学模型，依旧有很多需要解决的理论问题。例如，将模型转化成非稠定半线性柯西问题后，如何去掉边值条件的非线性限制？不同的状态空间对所研究的问题是否会有影响？对于无穷维动力系统的年龄结构传染病模型，映射半流的一致持续性证明方法，除了利用Hale和Waltman[20]，Magal和Zhao[21]开创的无穷维动力系统的一致持续理论外，Smith和Thieme在[22]中提出的方法是否可以应用，能否将这两种方法推广到年龄结构模型中呢？此外，当试图通过构造Lyapunov 函数证明平衡点的全局稳定性，需要将LaSalle不变集原理平行推广到无穷维动力系统，此时就不得不证明系统生成的映射半流的相对紧性[23]。上述问题都是深入研究年龄结构和类年龄
结构模型需要解决的重要的理论前提,本项目将应用上述理论研究年龄结构的肺结核动力学模型，分析年龄结构模型和常微分方程模型之间的内在联系和本质差别，从而更好地揭示肺结核的传播机制。
事实上，带有空间扩散和年龄结构的模型已经在种群模型方面做过研究
[24-26]，但关于传染病模型还没有相关的研究成果，目前这方面的结果亟待丰富和发展。Gurtin[24]首先提出了一个将扩散项引入到年龄结构种群模型，假设出生函数是常数。对于出生函数是非常数的情况，直到1988年才由Ndiaye[25]研究，他采用分离变量法和半群方法得到模型解的存在性，但解的正则性和正性并没有讨论。Nakoulima等在[26]中考虑了一个具有空间扩散和年龄依赖的非线性种群模型，利用粘性消去法和Leray-Schauder不动点定理研究了模型的抛物正则性、解的存在性、唯一性和正性。上述模型都属于二阶抛物问题，具有更加丰富和复杂的动力学行为。肺结核的传播具有空间特征和年龄结构，如何建立并分析具有空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型呢？这类模型将更加符合实际，所得到的动力学性态将会有更加实际的指导作用。传染病模型与种群模型相比，建模时考虑的变量增多，所建立模型的维数增加，从而用于研究种群模型的一些方法和理论不再适用。首先需要解决的问题就是如何确定模型的基本再生数，然后分析模型的阈值现象，给出模型行波解及最小波速的存在性等问题。这些问题的解决将更好的帮助我们去认识和控制肺结核的传播。
最后，肺结核作为传染病的一种，其建模的思想及其稳定性分析方法可用于研究其他具有相似特征的传染病，例如麻疹、霍乱、HIV和孢疹病毒等。该项目通过对所建立模型的Lyapunov稳定性研究，总结出构造Lyapunov函数的框架性方法，拓宽Lyapunov-LaSalle不变性原理的应用范围。获得反应扩散的传染病模型、年龄结构的传染病模型和具有空间扩散和年龄结构的传染病模型的一系列简单有效的平衡点稳定性判定准则，从而发展这几类方程的一些相关基本理论和研究方法。
.3 本项目研究宗旨
空间扩散及年龄年龄的肺结核动力学的建模及分析，理论上，系统地发展具有空间扩散和年龄结构模型的理论和方法，促进这几类方程一些相关基本理论和研究方法的发展；实践上，揭示我国肺结核病流行规律及发展趋势；应用方面，肺结核的建模思想和分析方法适合研究其他具有相似特征的传染病，具有广泛的应用性。该项目的研究不仅将发展和完善传染病模型研究的理论和方法，而且为肺结核等传染病的防控提供理论依据，因而具有丰富的理论和实际意义。
主要参考文献：
[1] http://www.wendangwang.com/department/416/index.html
[2] Zhang JH, Li Y, Zhang XA. Mathematical modeling of tuberculosis data of
, J. Theor. Biol., 36: 159-163, 2015.
[3] Hoa NP, Chuc NTK, Thorson A. Knowledge, attitudes, and practices about
and choice of communication channels in a rural community in Vietnam, Health policy, 90(1): 8-12, 2009.
[4] World Health Organization. Global Tuberculosis Report 2012. World Health
, Geneva, Switzerland, 2012.
[5] 卫生部疾病控制司．中国结核病防治规划实施工作指南,3, 2002．
[6] 端木宏谨. 第四次全国结核病流行病学抽样调查报告. 中华结核和呼吸杂
志, 25(1): 3-7, 2002.
[7] 全国第五次结核病流行病学抽样调查技术指导组. 全国第五次结核病流行
病学抽样调查办公室, 2010年全国第五次结核病流行病学抽样调查报告,中国防痨杂志, 34(8): 485-508, 2012.
[8] 李峻, 刘小秋, 李雪, 姜世闻, 张慧, 王黎霞. 肺结核可疑症状者的发生频
度和地区分布研究. 中国防痨杂志，34(9): 567-571,2012.
[9] 张元浩. 卫生部介绍全国肺结核疫情现状.中国全科医学：医生读者版，6,
.
[10] Kermack WO, McKendrick AG. A contribution to the mathematical theory of
, Proc. R. Soc. A., 115: 700-721, 1927.
[11] 马知恩. 传染病动力学的基本知识与发展方向, 见: 陆征一,周义仓, 数
学生物学进展. 北京：科学出版社, 2006.
[12] Keeling MJ. The effects of local spatial structure on epidemiological invasions.
. Roy. Soc. Lond. B. Bio., 266(1421): 859-867, 1999.
[13] 楼元. 空间生态学中的一些反应扩散方程模型. 中国科学: 数学, 45(10):
-1634, 2015.
[14] Allen L, Bolker B, Lou Y, et al. Asymptotic profile of the steady states for a
SIS epidemic disease reaction-diffusion model. Discrete Contin. Dyn. Sys. B., 21: 145-164, 2008.
[15] Wang WD, Zhao XQ. A nonlocal and time-delayed reaction-diffusion model of
transmission. SIAM J. Appl. Math., 71: 147-168, 2011.
[16] HoPPenstead F. An age dependent epidemic model. Franklin Inst., 197: 3088-
, 1974.
[17] Webb GF. “Theory of Nonlinear Age-Dependent Population Dynamics,”
and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 89, Marhttp://www.wendangwang.com/doc/98a414324c894f42d702dd49cel
, New York, 1985.
[18] Li XZ, Gupur G, Zhu GT. Mathematical Theory of Age-structured Epidemic
. Research information Ltd, UK, 2002.
[19] Magal P, Ruan SG. Center manifolds for semilinear equations with non-dense
and applications to Hopf bifurcation in age structured models. Memoirs of the American Mathematical Society, 202(951), 2009.
[20] Hale JK, Waltman P. Persistence in infinite-dimensional systems. SIAM J.
. Anal., 20: 388-395, 1989.
[21] Magal P, Zhao XQ. Global attractor in uniformly persistence dynamical
. SIAM J. Math. Anal., 37: 251-275, 2005.
[22] Smith HL, Thieme HR. “Dynamical Systems and Population Persistence”.
. Math. Soc., Providence, 2011.
[23] Walker JA. “Dynamical Systems and Evolution Equations”. Plenum Press,
York and London, 1980.
[24] Gurtin ME. A system of equations fhttp://www.wendangwang.com/doc/98a414324c894f42d702dd49or age dependent population diffusion. J.
. Biol., 40, 389-392, 1973.
[25] Ndiaye S. Sur un problème non linéaire en dynamique des populations. Thèse
3ème cycle, Université Cheikh Anta Diop de Dakar,1988.
[26] Nakoulima O, Omrane A, Velin J. Nonlinear problem for age-structured
dynamics with spatial diffusion. Journal of the Juliusz Schauder Center, 17: 307-319, 2001.
．项目的研究内容、研究目标，以及拟解决的关键科学问题（此部分为重点阐述内容）；
.1 研究目标
本项目将提出几类代表性的肺结核动力学模型，给出考虑空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型理论分析的基本框架，解决这几类模型定性、稳定性及行波解存在性等关键问题。该项目的研究将在理论上系统地发展具有空间扩散和年龄结构模型的理论和方法，并且在实践上揭示我国肺结核病流行规律及发展趋势，为开展肺结核流行调查和制定防控措施提供理论依据。
.2 研究内容
本项目将分别建立反应扩散的肺结核动力学模型、年龄结构的肺结核动力学模型及带空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型,分析所建立模型的动力学行为，并结合我国肺结核的统计数据，对模型的参数进行最优估计，分析和
预测该疫情的发展趋势，评估接种疫苗对肺结核传播的影响。具体的研究内容为：
（1）反应扩散的肺结核动力学模型的建立及分析：根据肺结核的地域特征，建立一类反应扩散的肺结核动力学模型。利用偏微分方程中抽象半群理论、谱理论、单调迭代和上下解等方法，计算模型的阈值，分析模型的动力学性态，包括模型稳态解的存在唯一性、稳定性、行波解及其最小波速的存在性，研究空间扩散对模型基本再生数、稳定性及行波解的影响，讨论肺结核空间传播的态势。
（2）年龄结构的肺结核动力学模型的建立及分析：根据肺结核的年龄结构特征，建立一类年龄结构的肺结核动力学模型。利用泛函微分方程中无穷维动力系统的一致持续理论和Lyapunov稳定性理论等，分析模型的动力学性态，给出模型所对应特殊情况，并揭示偏微分方程和常微分方程建模的内在联系。考虑肺结核病人的感染年龄、易感人群的年龄或接种疫苗的年龄，建立并分析所建立模型基本再生数和稳定性，探讨年龄结构及接种疫苗对肺结核传播的效应。
（3）带空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型的建立及分析：根据肺结核的地域特征和年龄结构，建立带空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型。利用偏微分方程中抽象半群理论、椭圆算子的特征值理论、不动点理论、单调迭代和上下解等方法，分析模型解的正则性、存在唯一性、正性、行波解及其最小波速的存在性，讨论空间扩散和年龄结构对模型的影响，揭示肺结核持续存在的机制。
（4）几类模型的数值模拟和参数估计：收集我国肺结核的实际数据，结合以上所建立的几类空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型，对模型的参数进行估计与假设检验，预测该疫情的发展趋势，评估接种疫苗对其传播的影响，找出最优的控制措施。
.3 拟解决的关键科学问题
（1）Lyapunov函数的构造：本项目分别研究的空间扩散和年龄结构的肺结核传播动力学模型，在建模上要比以往的模型更一般化，在无穷维动力系统上构造Lyapunov函数来获得系统平衡点的全局稳定性的判定准则具有很大的挑战。最大的困难是边值条件是非线性时，如何确定合适的核函数；
（2）失稳关键因素的确定：传染病动力学中，平衡点的全局稳定性用来判定传染病是最终灭亡还是持久存在，这往往由模型基本再生数的阈值所决定。而对非线性边值条件的反应扩散和年龄结构肺结核动力学模型的研究，不但要保证其平衡点的存在性，而且要确保其Lyapunov稳定性。在非线性边值下，需要确定模型参数中的哪一项或几项是模型平衡点失稳的关键因素；
（3）参数估计方法的选取：利用最小二乘法、极大似然估计、MCMC方法或拉丁超立方体抽样等参数估计方法及Matlab软件，结合我国肺结核的统计数据，对模型的参数进行估计与假设检验，预测该疫情的发展趋势，评估接种疫苗的效果。多种方法的情况下，如何选取参数估计方法并进行最优估计。
．拟采取的研究方案及可行性分析（包括研究方法、技术路线、实验手段、关键技术等说明）；
.1 研究方案
本项目拟建立几类考虑反应扩散与年龄结构的肺结核动力学模型，借助于动力系统、泛函分析和偏微分方程中的单调动力系统理论、无穷维动力系统的一致持续理论、Lyapunov稳定性理论、抽象半群理论、线性算子半群理论、谱理论、不动点理论和椭圆算子的特征值理论等，研究模型的定性、稳定性、持续性及行波解等问题，给出模型的基本再生数，稳态解的存在唯一性及局部或全局稳定性，以及行波解的存在性，分析主要阈值参数的生物学机制。结合我国肺结核病的统计数据，利用统计方法对模型参数进行估计与假设检验，探索我国肺结核病的流行规律，预测其发展趋势，寻找最优控制措施。对相关文献进行归纳、分析，找到问题的难点和解决问题的关键所在。具体的技术路线如下：
（1）反应扩散的肺结核动力学模型：首先给出反应扩散方程的一般形式(以一维空间为例)：
u(t,x) d u(t,x) f(t,x,u(t,x)), t
x其中u(t,x)表示t时刻位置x处人群的密度函数，d表示人群的扩散系数，
表示人群的定向移动， 2 2 x2表示人群在一维空间的随机扩散。d u(t,x)称为扩散项，f(t,x,u(t,x))称为反应项。结合仓室建模的思想，建立一
类反应扩散的肺结核动力学模型，并加上恰当的初始条件和边界条件，这是一类二阶偏微分方程。利用偏微分方程中的算子半群理论和谱理论，计算模型的两类重要阈值：基本再生数（描述肺结核传播与否）和人口统计学阈值（描述统计学过程，即人口增长与否）。分析无病稳态解和地方稳态解的存在性及稳定性，研究模型行波解及其最小波速的存在性，讨论人口扩散速度对肺结核传播的影响，利用数值模拟进一步说明空间扩散如何影响肺结核的传播动力学行为。
（2）年龄结构的肺结核动力学模型：首先给出年龄结构的种群模型的一般形式：
u(t,a) u(t,a) u(t,a), t a
其中u(t,a)表示t时刻年龄a时种群的密度函数， 表示种群的死亡率。结合仓室建模的思想，建立一类年龄结构的肺结核动力学模型，并加上恰当的初始条件和边界条件，这是一类一阶偏微分方程。我们已有的工作[Nonlinear Anal. RWA. 2015(24):18-35]是建立并研究具有潜伏年龄结构和复发年龄结构的传染病模型的全局稳定性，通过将模型转化为Volterra型方程，借助构造的Lyapunov泛函和应用LaSalle不变集原理，得到了模型平衡点的局部及全局稳定性，并且给出模型所对应的三种特殊情况并揭示了偏微分方程和常微分方程建模的内在联系，该模型可用于研究肺结核的传播动力学。为预防肺结核，按年龄接种疫苗是最为广泛应用的措施。在不同接种策略下，分析年龄结构的肺结核动力学模型的平衡点的存在唯一性及稳定性，研究接种年龄对模型阈值及阈值动力学性态的影响。建立模型动力学性态与流行病学参数之间的联系，探讨接种疫苗对肺结核传播的效应及合理的接种策略。
（3）带空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型：首先给出带空间扩散和年龄结构的种群模型的标准形式：
u(t,a,x) u(t,a,x) 2u(t,a,x) D(a) d(a)u(t,a,x), 2 t a x
其中u(t,a,x)表示t时刻年龄a位置x处种群的密度函数，D(a)和d(a)分别表示种群在年龄a时的扩散率和死亡率。结合仓室建模的思想，建立一类考虑空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型，并加上恰当的初始条件和边界条件，这
是一类二阶偏微分方程。利用偏微分方程中半群理论、不动点理论和椭圆算子的特征值理论等分析模型的正则性，研究模型适度解的存在唯一性及正性；利用单调迭代和上下解的方法给出模型行波解及其最小波速的存在性，讨论空间扩散和年龄结构对波速的影响，进而得到其对肺结核传播的影响。结合Matlab软件进行数值模拟，验证理论结果并给出流行病学解释。
（4）综合使用不同的参数估计方法，结合我国肺结核的统计数据，对所建立的几类肺结核动力学模型的参数进行估计与假设检验，并对该疫情的发展趋势做出预测，评估接种疫苗对肺结核传播的影响。
.2 可行性分析
,
申请人和项目组成员长期从事微分方程建模及其动力学分析、数值方法的研究工作，并进行了广泛的文献检索，对本项目拟研究的内容有着深入的了解，现在已有了一些初步成果，具备了完成该项目的研究条件，并且项目组有良好的研究基础和较强的科研能力。本课题所涉及的研究方法可借鉴传统的传染病动力学理论、反应扩散方程理论和参数估计方法，保证了研究工作的顺利开展。
申请人此前经过系统的反应扩散方程理论学习，并进行了广泛的文献研读，掌握了该研究领域的动态和进展。申请人先前长期从事具有年龄结构的传染病模型的建模及稳定性分析，已有了一些初步成果。我们已有的工作[Nonlinear Anal. RWA. 2015(24):18-35]是研究具有潜伏年龄结构和复发年龄结构的SEIR传染病模型的全局稳定性，通过将模型转化为Volterra型方程，借助构造Lyapunov泛函和应用LaSalle不变集原理，得到了模型平衡点的局部及全局稳定性，该模型可用于研究肺结核的传播动力学。这些成果为本项目的实施积累了大量经验，将相关技巧和经验推广应用到本项目研究反应扩散和年龄结构的肺结核动力学模型中是完全可行的。
申请人是山西大学复杂系统研究所生物数学团队成员，该团队学术带头人是靳祯教授。近年来，研究所获得教育部高等学校科学研究优秀成果奖(自然科学类)二等奖和山西省科学技术奖(自然科学类)一等奖各1 项，在国内外重要学术期刊发表学术论文被SCI 收录150 余篇，出版学术专著7部。2013年获得山西省教育厅复杂网络重点实验室，2014年获得山西省高校优秀创新团队，2015年获得山西省科技创新团队。
．本项目的特色与创新之处；
本项目将在反应扩散和年龄结构肺结核动力学模型的理论分析和Lyapunov函数构造上进行创新。具体有如下创新点：
（1）拟研究的几类肺结核动力学模型都来源于实际问题，其理论结果既可以丰富反应扩散方程和年龄结构方程的相关理论，又有利于人们对肺结核流行规律的认识，对该疫情的防控起到指导作用。
（2）拟研究的空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型，在建模上要比以往的模型更一般化。通过对所建立模型的Lyapunov稳定性的研究，将总结出构造Lyapunov函数的框架性方法，拓宽Lyapunov-LaSalle不变性原理的应用范围。
（3）研究本项目中所建立的肺结核动力学模型，不仅能揭示空间扩散和年龄结构参数对模型动力性态的影响，而且可以分析其与传统的空间同质肺结核动力学模型的本质区别和内在联系，提高对偏微分方程稳定性及行波解等问题的认识。
．年度研究计划及预期研究结果（包括拟组织的重要学术交流活动、国际合作与交流计划等）。
.1 年度研究计划
年1月-2017年12月：对具有空间扩散的肺结核传播动力学模型研究现状进行详细分析整理，查阅相关文献，掌握相关理论及分析方法。建立和完善反应扩散的肺结核动力学模型，计算模型的基本再生数，研究模型的稳定性，分析空间扩散对肺结核传播的影响。参加1-2次生物数学相关学术会议。着手收集我国肺结核的数据。
年1月-2018年12月：建立年龄结构的肺结核动力学模型，进行模型稳定性的研究，探索出构造Lyapunov函数的方法，评估接种疫苗对肺结核传播的效应及合理的接种策略。对收集的肺结核数据进行处理，用于分析我国肺结核的态势。参加1-2次生物数学相关学术会议。做好项目中期检查工作。
年1月-2019年12月：将空间扩散和年龄结构结合起来，建立肺结核动力学模型，分析模型解的正则性、存在性、唯一性和正性，以及行波解的存在性等问题，对该类模型的研究进行理论探索。结合所建立的几类模型，利用
处理后的数据进行参数估计，用于预测肺结核的发展趋势，得到实际可行的相关干预策略。参加1-2次会议，并在国内外会议上报告研究成果并撰写论文。做好项目的结题工作。
.2 预期研究成果
（1）通过本项目的系统研究, 预计能建立几类代表性的空间扩散和年龄结构的肺结核动力学模型, 理论上完善和发展这几类方程的一些相关基本理论和研究方法。结合我国肺结核的统计数据进行预测，为我国肺结核流行调查及制定防控措施提供理论依据。
（2）该项目成果表现为论文形式, 预计在国内外核心学术期刊发表学术论文5-6篇以上，其中SCI收录4篇以上。
（3）依本项目为依托，培养传染病动力学建模及分析方面的硕士研究生1-2名，促进我校生物数学建设和发展。
（二）研究基础与工作条件
．研究基础（与本项目相关的研究工作积累和已取得的研究工作成绩）；
本项目组成员有高级职称1人，中级职称2人，博士研究生2人，硕士研究生2人。
申请人刘利利主要从事生物动力系统的研究工作，特别是在传染病的建模及Lyapunov稳定性分析方面已积累了丰富的经验并得到了一些成果。到目前为止已经在Nonlinear Analysis: Real World Application，BioSystems，Discrete and Continuous Dynamical Systems Series B等期刊上发表论文6篇，其中SCI检索3篇。申请人经过系统的反应扩散方程理论学习，并进行了广泛的文献研读，对该领域的国内外最新研究动态和发展方向有着深入的了解。此外，申请人对于年龄结构的传染病模型已有了先期研究，已有一项研究成果发表在Nonlinear Analysis: RWA期刊上，另有多项研究成果在SCI期刊送审中，这些工作的完成为本项目的研究提供了经验。
申请人与本项目相关的研究工作如下：建立并分析了具有潜伏年龄结构和复发年龄结构的SEIR传染病模型的全局稳定性。通过将模型转化为Volterra型方程，借助构造Lyapunov泛函和应用LaSalle不变集原理，得到了模型平衡点的全局稳定性，并且给出模型所对应的三种特殊情况并揭示了偏微分方程和常微分方程建模的内在联系，该模型可用于研究肺结核的传播动力学[Nonlinear Anal. RWA. 2015(24):18-35]。在此基础上，进一步考虑了接种年龄结构，建立并分析了接种年龄对传染病传播的影响，该项研究成果投稿至Int. J. Biomath.审稿中。此外，我们考虑了具有易感年龄和复发年龄的海洛因传染病模型，分析了海洛因毒品传播与否的阈值现象，得到无海洛因平衡点和海洛因传播平衡点的局部及全局稳定性，并指出易感年龄和复发年龄对海洛因传播的影响，该项研究成果投稿至Appl. Math. Model.审稿中。申请人与王金良博士合作研究异质环境下多族群时滞海洛因传染病模型的研究成果投稿至Discr. Continu. Dyna. Sys. B，目前已接受。上述这些科研成果的完成为本项目的研究积累了大量经验和解决问题的能力。
项目组成员袁沅教授主要涉及数学生物学、数学生态学、非线性动力系统、时滞微分方程等多个方向的研究，曾主持多项加拿大自然科学和工程基金项目，2015年被聘为“山西省百人计划”。现已发表高水平学术论文40余篇，在数学建模及分析方面有着丰富的经验，因此她的参与将对本项目的模型建立和理论分析有很大帮助。项目组成员祁宏主要从事生物系统学研究，在Scientific Reports等期刊以第一作者发表SCI论文3篇，在传染病的传播机理和模型构建方面可为该项目提供理论依据。项目组成员李明涛和罗晓峰在生物动力系统研究方面也取得了进展,目前分别以第一作者发表SCI检索论文2篇和1篇。项目组成员王翠花和王璐璐已经完成硕士基础课程学习，在传染病模型的建立与数值模拟方面也取得了进展。
综上所述，项目组成员既有在动力系统及传染病建模方面有经验的工作者，又有充满活力的博士研究生队伍，项目成员构成合理，具有扎实的理论分析基础，可保证项目顺利完成。
．工作条件（包括已具备的实验条件，尚缺少的实验条件和拟解决的途径，包括利用国家实验室、国家重点实验室和部门重点实验室等研究基地的计划与落实情况）；
该项目以山西大学复杂系统研究所为依托平台，该研究所是山西大学的一级研究所，主要从事生物数学、复杂网络、科学计算与软件开发等研究工作。现有专职教师15人，其中教授3人，副教授3人，山西省百人计划2人，全部具有博士学位，带头人是靳祯教授。研究所拥有4个研究室，面积达到600平米，配备了高性能工作站15台、服务器1台、大规模存储设备及交换机各1台， 拥有576核的计算能力峰值达到2.816万亿次高性能计算平台，高性能计算机60余台，激光打印机9台，投影仪和复印机各2台，并且拥有各种计算软件，自主开发了基于Matlab和GIS的传染病预警防控可视化平台。近年来，研究所获得教育部高等学校科学研究优秀成果奖(自然科学类)二等奖和山西省科学技术奖(自然科学类)一等奖各1 项，在国内外重要学术期刊发表学术论文被SCI 收录150 余篇，出版学术专著7部。2013年获得山西省教育厅复杂网络重点实验室，2014年获得山西省高校优秀创新团队，2015年获得山西省科技创新团队。此外，山西大学图书馆文献资料齐全，随时可以检索到本领域的各种文献资料，并及时了解本领域的发展趋势。申请者所在单位与国内外有非常活跃的交流，经常邀请领域著名专家学者访问、作报告。良好的工作环境及大量的国内外交流机会为申请者及项目组成员创造了深入科研的机会。上述工作条件保障了本项目的顺利进行。
．正在承担的与本项目相关的科研项目情况（申请人和项目组主要参与者正在承担的与本项目相关的科研项目情况，包括国家自然科学基金的项目和国家其他科技计划项目，要注明项目的名称和编号、经费来源、起止年月、与本项目的关系及负责的内容等）； 项目名称：病毒进化对疾病传播动力学行为的影响
编号：11271303 负责人：刘贤宁
资助类别：面上项目 研究期限：2013/01-2016/12
资助金额：60万元 资金来源：国家自然科学基金
与本项目的关系：本项目的申请人是该项目的参与人，主要负责模型的建立和稳定性分析。该项目主要针对病毒引起的疾病展开研究的，在建立疾病传播动力学模型的基础上，利用动力系统理论和适应动力学理论等考察病毒的变异及其毒性进化是如何影响疾病的传播。该项目主要是基于病毒水平建立的动力学模型，与本项目基于个体水平建立的动力学模型是完全不同的，但该项目中的传染病建模方法及动力学分析理论对于本项目的研究有指导作用。
项目名称：传染病扩散与进化的动力学模型
编号：10971168 负责人：刘贤宁
资助类别：面上项目 研究期限：2010/01-2012/12
资助金额：26万元 资金来源：国家自然科学基金
与本项目的关系：本项目的申请人是该项目的参与人，主要负责模型动力学性态的分析和数值模拟。该项目研究人口移动过程中传染病引发新的感染，导致疫情的扩散，并讨论了人口移动的阈值动力学性态，分析了隔离措施及出入境检测对防控传染病流行的最优策略，并利用Matlab验证了理论结果。该项目主要是基于个体在斑块间移动或扩散过程中的感染，建立了基于常微分方程的传染病模型，而本项目主要针对空间扩散的肺结核动力学性态，建立基于偏微分方程的传染病模型，但该项目中传染病扩散的建模方法是本项目研究的理论基础。
．完成国家自然科学基金项目情况（对申请人负责的前一个已结题科学基金项目（项目名称及批准号）完成情况、后续研究进展及与本申请项目的关系加以详细说明。另附该已结题项目研究工作总结摘要（限500字）和相关成果的详细目录）。
无
（三）其他需要说明的问题
. 申请人同年申请不同类型的国家自然科学基金项目情况（列明同年申请的其他项目的项目类型、项目名称信息，并说明与本项目之间的区别与联系）。
. 具有高级专业技术职务（职称）的申请人或者主要参与者是否存在同年申请或者参与申请国家自然科学基金项目的单位不一致的情况；如存在上述情况，列明所涉及人员的姓名，申请或参与申请的其他项目的项目类型、项目名称、单位名称、上述人员在该项目中是申请人还是参与者，并说明单位不一致原因。
